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By Claus Scheiderer

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Fr (x, y), homogen in x, gibt es Polynome g1 (y), . . , gs (y) derart, daß f¨ ur jeden Punkt y ∈ K n gilt: s r gj (y) = 0 ⇔ ∃ 0 = x ∈ K m+1 j=1 fi (x, y) = 0. i=1 Beweis. Sei S = k[x] = k[x0 , . . , xm ], versehen mit der Standardgraduierung. Sei b ∈ An . Genau dann ist b ∈ π(X), wenn V+ f1 (x, b), . . , fr (x, b) = ∅ ist. 7 ist dazu ¨ aquivalent, daß f¨ ur alle d ≥ 1 gilt Sd ⊂ f1 (x, b), . . , fr (x, b) . (3) n F¨ ur d ≥ 1 sei Yd die Menge aller b ∈ A mit (3). Es gilt Y1 ⊃ Y2 ⊃ · · · , und π(X) = d≥1 Yd .

Xn ]. Dann sind aquivalent: ¨ (i) V+ (I) = ∅; (ii) es gibt ein d ≥ 0 mit Sd ⊂ I; (iii) es gibt ein d ≥ 0 mit xd0 , . . , xdn ∈ I; (iv) es gibt ein d ≥ 0 mit (x0 , . . , xn )d ⊂ I. √ Beweis. Sei V+ (I) = ∅. 6(a) ist dann I ⊃ (x0 , . . , xn ). Also gilt (i) ⇒ (iii). Ist xdi ∈ I f¨ ur i = 0, . . , n, so ist Sm ⊂ I f¨ ur m > (n + 1)(d − 1). Das zeigt (iii) ⇒ (ii), und (ii) ⇒ (iv) ⇒ (i) sind ebenfalls klar. 8. Sei i ∈ {0, . . , n}, sei D+ (xi ) = Pn (K) Bijektion φi : D+ (xi ) → An , (x0 : · · · : xn ) → V+ (xi ).

Definition. Seien Ui = P(Wi ) (i = 1, . . , r) projektive Unterr¨aume von P(V ). Dann heißt r Ui := P(W1 + · · · + Wr ) U1 ∨ · · · ∨ Ur := i=1 der Verbindungsraum von U1 , . . , Ur (oder der von U1 , . . , Ur erzeugte projektive Unterraum). Der Verbindungsraum ist offensichtlich der kleinste projektive Unterraum, der die gegebenen Unterr¨ aume enth¨alt. 4. Satz. (Dimensionsformel) F¨ ur je zwei projektive Unterr¨ aume U1 , U2 von P(V ) ist dim(U1 ∩ U2 ) + dim(U1 ∨ U2 ) = dim(U1 ) + dim(U2 ).

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